Sejam e espaços vetoriais reais, uma transformação linear (ou aplicação linear) é uma função tal que, para quaisquer e , as seguintes condições forem satisfeitas:
Quando uma transformação linear associa elementos de um mesmo conjunto , ou seja, , ela é chamada de operador linear sobre .
O seguinte teorema garante a existência e unicidade de uma transformação linear, esse resultado nos permite obter transformações lineares a partir dos resultados de sua aplicação em vetores que constituem uma Base de um espaço vetorial.
Sejam e espaços vetoriais reais, uma base de e um conjunto de vetores. Existe uma única transformação linear tal que: