Base de um espaço vetorial

Seja $V$ um Espaço vetorial e $B=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ um subconjunto de $V$. Dizemos que $B$ é uma base de $V$ se:

1. $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ são linearmente independentes
2. $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ geram $V$

Como implicação da definição de Dependência linear e Subespaço gerado, tem-se o seguinte teorema:

Se $B=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ é uma base de um espaço vetorial $V$, então todo e qualquer vetor $v$ de $V$ pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de $B$.

Sendo $B$ uma base de $V$, como qualquer vetor pode ser escrito de maneira única como combinação linear dos vetores de $B$, então os escalares únicos $a_1,a_2,\dots ,a_n$ determinam um único vetor $v$. Por conta disso, os escalares $a_1,a_2,\dots ,a_n$ são chamados de coordenadas ou componentes do vetor $v$ em relação à base $B$. Pode-se representar o vetor $v$ em relação à base $B$ da seguinte forma:

$$v=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$$

Note que se, dado um espaço vetorial $V$ e um conjunto não nulo de vetores $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ tais que $[u_1,u_2,\dots ,u_n]=V$, então o conjunto $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ contém uma base de $V$.

Um resultado importante que segue dos teoremas relacionados à base de um espaço vetorial é o de que qualquer base de um espaço vetorial $V$ tem o mesmo número de elementos.