Dependência linear

Seja $V$ um Espaço vetorial e $u_1,u_2,\dots ,u_n\in V$. O conjunto $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ é dito linearmente independente (L.I.) se e somente se a equação

$$a_1{u}_1,a_2{u}_2,\dots ,a_n{u}_n=0$$

tiver apenas a solução $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$, chamada de solução trivial. Caso a equação seja satisfeita para algum $a_i\ne 0$, o conjunto é dito linearmente dependente (L.D.).

Note que o subconjunto unitário $\{0\}$ de um espaço vetorial $V$ é L.D., pois para qualquer $a\in \mathbb{R}$ a equação é satisfeita. De forma análoga, um subconjunto unitário $\{v\},v\ne 0$ de um espaço vetorial $V$ é L.I., pois a equação só é satisfeita para $a=0$.

Para verificar se um conjunto de vetores é L.I. ou L.D. devemos, sempre, resolver um sistema linear homogêneo. Nesse caso os vetores são L.I. se a única solução do sistema linear é a solução trivial, e os vetores são L.D. se o sistema admite infinitas soluções. Uma forma alternativa à resolução dos sistemas lineares é calcular os determinantes da matriz dos coeficientes. Seja $A$ a matriz dos coeficientes do sistema linear, se $\det (A)=0$, então o sistema admite infinitas soluções, logo os vetores são L.D.; caso contrário, ou seja, se $\det (A)\ne 0$, então o sistema admite apenas a solução trivial, logo os vetores são L.I..

O teorema enunciado a seguir relaciona a dependência com combinação linear:

O conjunto $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ é linearmente dependente (L.D.) se e somente se um dos vetores $u_i$ for Combinação linear dos outros.