Processo de Gram-Schmidt

Em espaços euclidianos geralmente bases ortogonais ou ortonormais simplificam os cálculos e tornam a resolução de problemas mais simples nessas bases. O processo de Gram-Schmidt consiste em, dada uma Base de um espaço vetorial $V$, convertê-la em uma base de $V$ ortogonal ou ortonormal. Esse processo consiste em escrever os elementos da sequência como Combinação linear dos elementos anteriores, tomando escalares que tornem todos os vetores da sequência ortogonais dois a dois.

O processo se baseia no fato de que sempre é possível construir, a partir de uma sequência de vetores linearmente independentes $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$, uma sequência ortogonal $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$. Além disso, dada uma sequência ortogonal $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$, para obter-se uma sequência ortonormal $\{e_1^{\ast },e_2^{\ast },\dots ,e_n^{\ast }\}$ basta normalizar cada vetor:

$e_i^{\ast }=\frac{e_i}{||e_i||},i=1,2,\dots ,n$

Portanto, todo espaço euclidiano $n$ dimensional tem uma base ortogonal e uma base ortonormal.

Dada uma sequência de vetores linearmente independentes $\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$, para transformá-la em uma sequência ortogonal $\{e_1,e_2,\dots ,e_n\}$, os elementos $e_i$ são escritos como combinação linear de seus predecessores, da seguinte forma:

$$\begin{array}{rl}{e}_1& =u_1\\ e_2& =u_2-\frac{u_2\cdot e_1}{e_1\cdot e_1}{e}_1\\ e_3& =u_3-\frac{u_3\cdot e_1}{e_1\cdot e_1}{e}_1-\frac{u_3\cdot e_2}{e_2\cdot e_2}{e}_2\\ ⋮& \\ e_i& =u_i-\frac{u_i\cdot e_1}{e_1\cdot e_1}{e}_1-\frac{u_i\cdot e_2}{e_2\cdot e_2}{e}_2-\cdots -\frac{u_i\cdot e_{i-1}}{e_{i-1}\cdot e_{i-1}}{e}_{i-1}\end{array}$$