Espaço vetorial euclidiano

Dado um Espaço vetorial $V$, um produto interno é qualquer função $f:V\times V\to \mathbb{R}$, indicada por $u\cdot v$ ou $⟨u,v⟩$, tal que para quaisquer $u,v,w\in V$ e $\alpha \in \mathbb{R}$ os seguintes axiomas sejam verdadeiros:

1. $u\cdot v=v\cdot u$
2. $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$
3. $(\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)$
4. $u\cdot v=v\cdot u$

Um espaço vetorial real de dimensão finita no qual está definido um produto interno é chamado de espaço vetorial euclidiano.

Dado um vetor $u\in V$, sendo $V$ um espaço com produto interno $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, a norma (ou comprimento, ou módulo) de $v$, relativamente a este produto interno, é o número real não-negativo denotado por $||v||$, definido por:

$||v||=\sqrt{⟨v,v⟩}$

Se $||v||=1$, então $v$ é chamado vetor unitário. Dado um vetor não-nulo $v\in V$, sendo $V$ um espaço euclidiano, o vetor $u$ definido por:

$u=\frac{v}{||v||}$

é unitário.

Dados dois vetores não-nulos $u$ e $v$, o ângulo $\theta$ entre os vetores é dado por:

$\cos \theta =\frac{u\cdot v}{||u||||v||},0\le \theta \le \pi$

Dado um espaço vetorial euclidiano $V$, dois vetores $u,v\in V$ são ditos ortogonais (denotado por $u\perp v$) se e somente se $u\cdot v=0$. Da mesma forma, dado um conjunto de vetores $\{u_1,\dots ,u_n\}\subset V$ é ortogonal se dois quaisquer vetores distintos do conjunto são ortogonais, ou seja, se $u_i\cdot v_j=0$, $i\ne j$. Um conjunto ortogonal no qual cada elemento tem norma igual a $1$ é dito um conjunto ortonormal.