Espaço vetorial

Dado um conjunto $V$ não-vazio, se em $V$ estiverem definidas: uma operação de adição tal que, para todo par de elementos $x,y\in V$, associa-se um terceiro elemento $x+y\in V$, ou seja:

$+:V\times V\to V$

e uma operação de multiplicação por escalar tal que, para cada elemento $\alpha \in \mathbb{R}$ e para cada elemento $x\in V$, associa-se um elemento $\alpha x\in V$, ou seja:

$\cdot :\mathbb{R}\times V\to V$

O conjunto $V$ é um espaço vetorial real em relação a essas operações se, para quaisquer $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ e $u,v,w\in V$, as seguintes propriedades forem satisfeitas:

1. (Associatividade) $(x+y)+z=x+(y+z)$
2. (Comutatividade) $x+y=x+y$
3. (Elemento neutro) $\exists 0\in V\mid u+0=0+u=u$
4. (Elemento simétrico) $\forall u,\exists -u\mid x+(-x)=0$
5. (Distributividade) $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$
6. (Distributividade) $(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u$
7. (Associatividade) $(\alpha \beta )u=\alpha (\beta u)$
8. (Elemento neutro) $1\cdot u=u$

Os conjuntos $\mathbb{R},{\mathbb{R}}^2,{\mathbb{R}}^3,\dots ,{\mathbb{R}}^n$ com suas definições tradicionais de adição e multiplicação são exemplos de espaços vetoriais.