Subespaço vetorial

Subespaços vetoriais são subconjuntos de espaços vetoriais. Cada subespaço vetorial deve estar associado a um espaço vetorial do qual ele é um subconjunto.

Seja $V$ um espaço vetorial e seja $W$ um subconjunto de $V$ tal que $W\ne \varnothing$. Dizemos que $W$ é um subespaço vetorial de $V$ se as seguintes condições forem satisfeitas:

1. $\forall u,v\in W\to u+v\in W$
2. $\forall \alpha \in \mathbb{R},\forall u\in W\to \alpha u\in W$
3. $0\in W$

Note que a condição c) deriva da condição b), pois ao multiplicar um elemento pelo escalar 0 deve-se poder obter o elemento nulo do conjunto $W$. Veja também que, por definição, o espaço vetorial $V$ é um subespaço vetorial dele mesmo.

Sabendo disso, infere-se que todo espaço vetorial admite ao menos dois subespaços vetoriais, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo e o próprio conjunto. Esses dois subespaços são chamados de subespaços triviais, enquanto todos os outros subespaços de um espaço vetorial são chamados de subespaços próprios.

Os subespaços vetoriais possuem propriedades interessantes que garantem duas operações: a intersecção e a soma de subespaços vetoriais.

Sejam $W_1$ e $W_2$ subespaços vetoriais de um espaço vetorial $V$, a intersecção $W_1\cap W_2$ destes subespaços é também um subespaço vetorial de $V$.

Sejam $W_1$ e $W_2$ subespaços vetoriais de um espaço vetorial $V$, a soma destes subespaços, dada por:

$W_1+W_2=\{w\in V;w=u+v,u\in W_1,v\in W_2\}$

é também um subespaço vetorial de $V$.