Subespaço gerado

Seja $V$ um Espaço vetorial e $S=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ um subconjunto de $V$. O subconjunto de $V$ formado por todas as combinações lineares de elementos de $S$, ou seja:

$[S]=\{a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n\mid a_i\in \mathbb{R},\forall i\}$

é chamado de espaço vetorial gerado por $S$. Os vetores $u_1,u_2,\dots ,u_n$ são chamados geradores de $[S]$. Note que $[S]$ é um subespaço vetorial de $V$.

Para mostrar que um conjunto $S=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ de vetores gera um subespaço $V$, é necessário mostrar que, para qualquer $v\in V$, a equação

$a_1{u}_1+a_2{u}_2+\cdots +a_n{u}_n=v$

tem solução única.