Formas lineares e bilineares

Dado um Espaço vetorial $V$, uma forma linear $T$ é uma Transformação linear que associa vetores de $V$ ao conjunto dos reais, ou seja, $T:V\to \mathbb{R}$.

Da mesma forma, dado um espaço vetorial $V$, uma forma bilinear $B$ é uma aplicação que associa dois vetores de $V$ ao conjunto dos reais, ou seja, $B:V\times V\to \mathbb{R}$. Além disso, as formas bilineares devem satisfazer as seguintes condições:

1. Para todo $w\in V$, $B(u,w)$ é uma forma linear relativamente à primeira variável, ou seja:

   $B(u_1+u_2,w)=B(u_1,w)+B(u_2,w)\text{e}B(\alpha u,w)=\alpha B(u,w)\text{forwall}{u}_1,u_2,u\in V,\alpha \in \mathbb{R}$

2. Para todo $v\in V$, $B(u,w)$ é uma forma linear relativamente à segunda variável, ou seja:

   $B(u,w_1+w_2)=B(u,w_1)+B(u,w_2)\text{e}B(u,\alpha w)=\alpha B(u,w)\text{forwall}{w}_1,w_2,u\in V,\alpha \in \mathbb{R}$

Uma forma bilinear $B:V\times V\to \mathbb{R}$ é dita simétrica se para todos os vetores $u,v\in V$ tem-se:

$B(u,v)=B(v,u)$