Matrizes de formas bilineares

Dado um Espaço vetorial $V$ com base $\mathcal{B}=\{u_1,\dots ,u_n\}$ e uma forma bilinear $B:V\times V\to \mathbb{R}$, a matriz $[B{]}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}$ associada à forma bilinear $B$ é chamada matriz da forma bilinear $B$ na base $\mathcal{B}$. A matriz associada à forma bilinear é dada por:

$$\begin{array}{c}[B{]}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}B(u_1,u_1)& B(u_1,u_2)& \dots & B(u_1,u_n)\\ B(u_2,u_1)& B(u_2,u_2)& \dots & B(u_2,u_n)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B(u_n,u_1)& B(u_n,u_2)& \dots & B(u_n,u_n)\end{array}\right]\end{array}$$

De forma que, dados dois vetores $u=x_1{a}_1+\cdots +x_n{a}_n$ e $v=y_1{a}_1+\cdots +y_n{a}_n$ , tem-se:

$$\begin{array}{c}B(u,v)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& \dots & x_n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}B(a_1,a_1)& \dots & B(a_1,a_n)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ B(a_n,a_1)& \dots & B(a_n,a_n)\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{y}_1& \dots & y_n\end{array}\right]\end{array}$$