Matriz de uma transformação linear

Dada uma Transformação linear $T:U\to V$, sendo $\dim U=n$ e $\dim V=m$. Considerando as bases $B=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ e $B^{\prime }=\{v_1,v_2,\dots ,v_m\}$ como bases de $U$ e $V$, respectivamente, é possível escrever os vetores $T(u_i)$ como Combinação linear dos vetores da base $B^{\prime }$ da seguinte forma;

$$\begin{array}{rl}T(u_1)& =a_{11}{v}_1+a_{21}{v}_2+\cdots +a_{m1}{v}_m\\ T(u_2)& =a_{12}{v}_1+a_{22}{v}_2+\cdots +a_{m2}{v}_m\\ & ⋮\\ T(u_n)& =a_{1n}{v}_1+a_{2n}{v}_2+\cdots +a_{mn}{v}_m\end{array}$$

A partir dessas combinações, é possível obter uma matriz de dimensão $m\times n$, chamada matriz associada à transformação linear $T$

$$\begin{array}{c}{\left[T\right]}_{B^{\prime }}^B=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right]\end{array}$$