Matrizes semelhantes

Dado um operador linear $T:V\to V$, se $B$ e $B^{\prime }$ são bases de $V$ e $[T{]}_B^B$ e $[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}$ são matrizes que representam o operador nas bases $B$ e $B^{\prime }$ respectivamente, então

$[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_B^{B}Q$

em que $Q=[A{]}_B^{B^{\prime }}$ é a matriz de mudança da base $B^{\prime }$ para a base $B$.

Nesse caso, $[T{]}_B^B$ e $[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}$ são chamadas de matrizes semelhantes. Portanto, duas matrizes são semelhantes quando definem em $V$ um mesmo operador linear $T$ em duas bases diferentes, ou seja, duas matrizes $[T{]}_B^B$ e $[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}$ são semelhantes se existe uma matriz inversível $Q$ tal que:

$[T{]}_{B^{\prime }}^{B^{\prime }}=Q^{-1}[T{]}_B^{B}Q$