Mudança de base de um espaço vetorial

Sabendo que todo Espaço vetorial tem mais de uma base, a mudança de base consiste em, dadas as coordenadas de um vetor $v\in V$ em uma base $B$, determinar as coordenadas de $v$ em uma outra base $B^{\prime }$.

Sejam $B=\{u_1,u_2,\dots ,u_n\}$ e $B^{\prime }=\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$ duas bases de um mesmo espaço vetorial $V$ de dimensão $n$. Dado um vetor $v\in V$, é possível escrevê-lo de duas formas:

Na base $B$:

$v=x_1{u}_1+x_2{u}_2+\cdots +x_n{u}_n$

ou na base $B^{\prime }$:

$v=y_1{w}_1+y_2{w}_2+\cdots +y_n{w}_n$

Note que as coordenadas $x_1,x_2,\dots ,x_n$, relativas à base $B$, e as coordenadas $y_1,y_2,\dots ,y_n$, relativas à base $B^{\prime }$ são únicas.

Escrevendo os vetores $w_i$ como Combinação linear dos vetores $u_j$, é possível obter a equivalência dos coeficientes através da seguinte equação matricial:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{y}_1\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]\end{array}$$

Denotando $[a_{i_j}{]}_{n\times n}=A$, temos:

$[v{]}_B=A\cdot [v{]}_{B^{\prime }}$

A matriz $A$ é chamada de matriz de mudança da base $B$ para a base $B^{\prime }$.