Operador ortogonal

Dado um Espaço vetorial euclidiano $V$, um operador linear $T:V\to V$ é dito ortogonal se preservar a norma de cada vetor $v\in V$, ou seja:

$||T(u)||=||u||\forall u\in V$

Se $T$ é um operador ortogonal, então a matriz $A$ da transformação $T$ é também ortogonal, ou seja:

$A^{-1}=A^t$

isto é, a inversa da matriz $A$ coincide com sua transposta. Note que se $A$ é ortogonal, então $\det (A)=\pm 1$. Além disso, as colunas (ou linhas) de uma matriz ortogonal são sempre vetores ortonormais.

Todo operador linear ortogonal $T:V\to V$ preserva o produto escalar de vetores, ou seja, para quaisquer vetores $u,v\in V$ tem-se:

$T(u)\cdot T(v)=u\cdot v$