Autovalores e Autovetores de Matrizes

Tomando uma Transformação linear $T$ associada à matriz $A_{n\times n}$, é possível determinar os Autovalores e autovetores da matriz $A$ a partir da busca por um escalar $\lambda \in \mathbb{R}$ e um vetor não nulo $u$ tais que:

$Au=\lambda u$

Manipulando a equação matricial, é possível obter a equação equivalente:

$(A-\lambda I)u=0$

Note que esta equação representa um sistema linear homogêneo. Para que esse sistema admita soluções não triviais (pois os autovetores devem ser diferentes do vetor nulo), o determinante da matriz dos coeficientes $A-\lambda I$ deve ser igual a $0$. Ao calcular o determinante, obtém-se um polinômio de grau $n$ em $\lambda$ cujas raízes são os autovalores da matriz. A partir disso, para obter um autovetor associado a um autovalor $\lambda$ basta substituir o valor de $\lambda$ na equação matricial do sistema linear homogêneo.

O polinômio $P$ de grau $n$ em $\lambda$ obtido através do cálculo de $\det (A-\lambda I)$ é um chamado polinômio característico de $A$.

A equação $P(\lambda )=0$ é chamada equação característica de $A$.

Chamamos de multiplicidade algébrica de um autovalor ${\lambda }_1$ a quantidade de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico $P$.

Chamamos de multiplicidade geométrica de um autovalor ${\lambda }_1$ a dimensão do auto-espaço associado a ele.