Integrais indefinidas

Para calcular as integrais fazemos o processo inverso das derivadas. Sendo $f(x)$ e $F(x)$ definidas em um intervalo $I\subset \mathbb{R}$, temos que $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$ se $F^{\prime }(x)=f(x)$ para cada $x\in I$.
Sabendo que a derivada de uma constante é sempre $0$, podemos somar qualquer constante a $F(x)$ e ela ainda será primitiva de $f(x)$, daí o termo integral indefinida.
Portanto, sendo $F(x)$ uma primitiva de $f(x)$ no intervalo $I$, denotamos a integral de $f(x)$ usando a notação de Leibniz:

$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

Onde $C$ representa uma constante genérica tal que $C\in \mathbb{R}$.

Existem algumas propriedades para manipular expressões envolvendo integrais, definidas também a partir das regras de derivação:

$$\int k\cdot f(x)dx=k\cdot F(x)+C$$ $$\int f(x+b)dx=F(x+b)+C$$ $$\int f(ax)dx=\frac{1}{a}F(ax)+C$$

Os dois métodos usado para o cálculo de integrais indefinidas são a integração por mudança de variável e a integração por partes.
Vale lembrar que nenhuma dessas técnicas resolvem todos os problemas envolvendo integrais, mas pelo menos nos ajudam em boa parte deles.

Usando as regras de derivação e as técnicas de integração, podemos definir algumas integrais indefinidas cujo cálculo é imediato:

$$\begin{array}{cc}\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C,(\alpha \ne -1)& \int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C\\ \int \sin xdx=-\cos x+C& \int \cos xdx=\sin x+C\\ \int e^{x}dx=e^x+C& \int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\\ \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C& \int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C\\ \int \sec x\cdot \tan xdx=\sec x+C& \int \csc x\cdot \cot xdx=-\csc x+C\\ \int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C& \int \csc xdx=-\ln |\csc x+\cot x|+C\\ \int \tan xdx=-\ln \cos x+C& \int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C& \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C& \int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C& \int \frac{1}{\sqrt{x^2+\lambda }}dx=\ln |x+\sqrt{x^2+\lambda }|+C\end{array}$$