Funções trigonométricas

É fundamental relembrar as principais propriedades e relações trigonométricas. Em um triângulo retângulo temos as seguintes relações:

$$\cos \theta =\frac{catetoadjacente}{hipotenusa}$$ $$\sin \theta =\frac{catetooposto}{hipotenusa}$$ $$\tan \theta =\frac{catetooposto}{catetoadjacente}=\frac{\sin \theta }{cos\theta }$$ $$\begin{array}{cccc}\theta & \cos \theta & \sin \theta & \tan \theta \\ 0^{\circ }& 1& 0& 0\\ 30^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 45^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1\\ 60^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \sqrt{3}\\ 90^{\circ }& 0& 1& \text{undefined}\end{array}$$

Além da relações básicas, temos também as funções trigonométricas inversas, definidas por:

$$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(a\ne n\pi ,\forall n\in \mathbb{Z})$$ $$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }(a\ne \frac{\pi }{2}+n\pi ,\forall n\in \mathbb{Z})$$ $$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }(a\ne n\pi ,\forall n\in \mathbb{Z})$$

Existem ainda as seguintes relações, muito úteis principalmente para o cálculo de integrais:

$$\begin{array}{cc}{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1& 1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x\\ 1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x& \sin (-x)=-\sin x\\ \cos (-x)=\cos x& \tan (-x)=-\tan x\\ \cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x& \sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b\\ \cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b& \tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}& {\cos }^{2}x=\frac{1}{2}(1+\cos 2x)\\ {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)& \sin 2x=2\sin x\cos x\\ \cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1& \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}\\ \left|\sin \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}& \left|\cos \frac{x}{2}\right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\\ \tan \frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}& \sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin (x-y)+\sin (x+y)]\\ \sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]& \cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)+\cos (x+y)]\\ \cos x\sin y=\frac{1}{2}[\sin (x+y)-\sin (x-y)]& \sin x-\sin y=2\sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\\ \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x& 1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}\\ 1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}& 1\pm \sin x=1\pm \cos (\frac{\pi }{2}-x)\end{array}$$

Como base para calcular as derivadas das funções trigonométricas tomamos o primeiro limite fundamental.

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$