Reta

Equação vetorial

Dado um ponto $A(x_1,y_1,z_1)$ e um vetor não nulo $\vec{v}=(a,b,c)$, só existe uma reta $r$ que passa por $A$ e tem a direção de $\vec{v}$. Um ponto $P(x,y,z)$ pertence a $r$ se, e somente se, o vetor $\overrightarrow{AP}$ é paralelo a $\vec{v}$, ou seja:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{AP}& =t\vec{v}\\ P& =A+t\vec{v}\\ r:(x,y,z)& =(x_1,y_1,z_1)+t(a,b,c)\end{array}$$

Qualquer uma das equações acima é denominada equação vetorial de $r$. Sabendo que existem infinitos vetores paralelos à reta, podemos dizer que a reta $r$ possui infinitas equações vetoriais.
O vetor $\vec{v}$ é chamado vetor diretor da reta $r$, e $t$ é denominado parâmetro.

Equações paramétricas

Da equação vetorial da reta $r$ com vetor diretor $\vec{v}=(a,b,c)$, tomando um ponto inicial $A(x_1,y_1,z_1)$ tal que $A\in r$, pode-se obter o seguinte sistema, que descreve cada coordenada do ponto em $r$ individualmente:

$$r:\{\begin{array}{l}x=x_1+at\\ y=y_1+bt\\ z=z_1+ct\end{array}$$

Reta definida por dois pontos

Com dois pontos é possível definir uma reta. Se uma reta $r$ passa pelos pontos $A(x_1,y_1,z_1)$ e $B(x_2,y_2,z_2)$, então ela tem como vetor diretor o vetor $\vec{v}=\overrightarrow{AB}$, e podemos usar tanto o ponto $A$ quanto o ponto $B$ como pontos iniciais, então:

$$r:\{\begin{array}{l}x=x_1+(x_2-x_1)t\\ y=y_1+(y_2-y_1)t\\ z=z_1+(z_2-z_1)t\end{array}$$

Equações simétricas da reta

Colocando o parâmetro $t$ em evidência cada uma das equações paramétricas, temos a seguinte relação:

$$t=\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$

Essas equações são chamadas de equações simétricas da reta que passa pelo ponto $A(x_1,y_1,z_1)$ e tem a direção do vetor $\vec{v}=(a,b,c)$. Com elas é possível substituir o valor de apenas uma das coordenadas do ponto $B(x,y,z)\in r$ desejado para se obter as outras duas coordenadas, pois se o ponto pertence à reta essa igualdade é sempre verdadeira.

Equações reduzidas da reta

A partir das equações simétricas podemos expressar duas variáveis em função de uma terceira, resultando em um sistema desse formato:

$$r:\{\begin{array}{l}y=mx+n\\ z=px+q\end{array}$$

Nesse caso, a equação está reduzida em $x$.

Retas paralelas aos planos coordenados

Uma reta é paralela a um dos planos $xOy$, $xOz$ ou $yOz$ se os seus vetores diretores forem paralelos a tal plano. Para que isso aconteça, uma das componentes do vetor é nula.

Retas paralelas aos eixos coordenados

Uma reta é paralela a um dos eixos $Ox$, $Oy$ ou $Oz$ se os seus vetores diretores forem paralelos a $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ ou $\vec{k}=(0,0,1)$. Para que isso aconteça, duas das componentes do vetor são nulas.

Ângulo de duas retas

Sejam $r_1$ e $r_2$ duas retas com vetores diretores ${\vec{v}}_1$ e ${\vec{v}}_2$, respectivamente. O ângulo das duas retas $r_1$ e $r_2$ é o menor ângulo entre um vetor diretor de $r_1$ e um vetor diretor de $r_2$, ou seja, é igual a:

$$\cos \theta =\frac{|{\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2|}{|{\vec{v}}_1||{\vec{v}}_2|},\text{com}0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$

Veja que sempre consideramos o ângulo $\theta$ como um ângulo agudo.
Note que isso deriva diretamente do cálculo do ângulo de dois vetores.

Retas ortogonais

Duas retas $r_1$ e $r_2$ são ortogonais se seus vetores diretores ${\vec{v}}_1$ ${\vec{v}}_2$ são ortogonais, ou seja:

$$r_1\perp r_2\iff {\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2=0$$

Reta ortogonal a duas retas

Sendo $r_1$ e $r_2$ retas não paralelas, com vetores diretores ${\vec{v}}_1$ ${\vec{v}}_2$, uma terceira reta $r$ com vetor diretor $\vec{v}$ será ortogonal as duas outras quando:

$$\vec{v}={\vec{v}}_1\times {\vec{v}}_2$$

Ou seja, basta fazer o produto vetorial entre os vetores diretores das retas.

Intersecção de duas retas

Para encontrar a intersecção entre duas retas, basta igualar suas equações, assim encontra-se o ponto comum entre as duas retas, também chamado de ponto de intersecção.
Sejam $r_1$ e $r_2$ duas retas com as seguintes equações paramétricas:

$$r_1:\{\begin{array}{l}x=x_1+a_{1}t\\ y=y_1+b_{1}t\\ z=z_1+c_{1}t\end{array},t\in \mathbb{R}{r}_2:\{\begin{array}{l}x=x_2+a_{2}s\\ y=y_2+b_{2}s\\ z=z_2+c_{2}s\end{array},s\in \mathbb{R}$$

Igualando cada equação paramétrica para descobrir o ponto em comum e colocando os parâmetros $t$ e $s$ em evidência temos o seguinte sistema:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}t-a_{2}s=x_2-x_1\\ b_{1}t-b_{2}s=y_2-y_1\\ c_{1}t-c_{2}s=z_2-z_1\end{array}$$

Colocando na forma matricial ampliada:

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& -a_2& x_2-x_1\\ b_1& -b_2& y_2-y_1\\ c_1& -c_2& z_2-z_1\end{array}\right]$$

A partir disso podemos fazer a seguinte análise:

1. Se o sistema for possível e determinado, então as retas são concorrentes (tem intersecção em um ponto).
2. Se o sistema foi possível e indeterminado, então as retas são coincidentes.
3. Se o sistema for impossível então as retas são reversas ou paralelas.

É importante destacar que:

• Se duas retas tem intersecção, elas são coplanares
• Se duas retas são paralelas, elas são coplanares