Convergência de séries

Uma forma imediata de verificar se uma série diverge ou converge é verificar se seu termo geral $a_n$ converge a $0$.

Critério do termo geral
Dada uma série $S=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$. Se $S$ converge, então $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$.

Note que a recíproca dessa condição não é válida, ou seja, existem sequências convergem a $0$ cuja soma não é convergente.

Critérios de convergência

Além da verificação pelo termo geral, existem muitas outras formas de verificar a convergência de séries, algumas delas são enunciadas aqui.

Critério da comparação
Critério da integral
Critério da raiz
Critério da razão
Critério de Leibniz

Convergência absoluta e condicional

Convergência absoluta
Uma série $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ é absolutamente convergente se a série correspondente de valores absolutos $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ converge.

Convergência condicional
Uma série que converge, mas não converge absolutamente, isto é, a série correspondente de valores absolutos diverge, é chamada de condicionalmente convergente.

Os conceitos de convergência absoluta e convergência condicional nos permitem, além de classificar séries, estender os critérios de convergência de séries de termos positivos para qualquer série com qualquer distribuição de sinal entre seus termos.

Teste da convergência absoluta
Se $\sum _{n=1}^{\infty }|a_n|$ converge, então $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge.

É importante ressaltar que a recíproca desse teste não é válida, ou seja, é possível que uma série convergente não seja absolutamente convergente (a série harmônica alternada é um exemplo desse fenômeno).