Séries numéricas

Uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números na forma

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\dots$$

Como há um número infinito de termos, não é possível simplesmente realizar as operações de adição para cada termo. Ao invés disso, podemos observar o resultado da soma dos $n$ primeiros termos da sequência, também chamada de soma parcial. Com base na soma parcial, podemos analisar o comportamento do resultado da soma à medida que $n$ cresce, dessa forma é possível determinar o resultado da série infinita manipulando a ideia de limites.

Dada uma sequência $(a_n)$, uma expressão da forma

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\dots$$

é uma série infinita. O número $a_n$ é o n-ésimo termo da série. A sequência $(S_n)$ definida por

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =a_1\\ S_2& =a_1+a_2\\ & ⋮\\ S_n& =a_1+a_2+\cdots +a_n\\ & ⋮\end{array}$$

é a sequência de somas parciais da série.
Dizemos que a série

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=a_1+a_2+\cdots +a_n+\dots$$

converge a $L$ se

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=L$$

Se a sequência de somas parciais da série não converge, dizemos que a série diverge.

A ideia então é, a partir de uma dada sequência $(a_n)$, construir uma segunda sequência $(s_n)$ composta pelas somas parciais dos termos de $(a_n)$. A partir daí é necessário determinar se a sequência $(s_n)$ converge ou diverge, se ela for convergente então é possível afirmar que há uma série convergente.