Uma série de potências é uma série do tipo

Nesse caso, dizemos que essa série foi desenvolvida em torno de . Chamamos de intervalo de convergência o conjunto dos valores de para os quais a série converge. Existem apenas três possibilidades para o intervalo de convergência:

  1. Existe um valor chamado de raio de convergência tal que a série converge se , e diverge se . Note que aqui nada se é afirmado sobre as extremidades do intervalo, a convergência ou divergência nesses pontos específicos precisa ser verificada para cada série.
  2. Só converge no ponto , ou seja: . Nesse caso o raio de convergência é .
  3. Converge para qualquer valor de , ou seja: . Nesse caso o raio de convergência é .

Note que séries de potências necessariamente são convergentes em invervalos simétricos em torno de .

Determinando o raio de converência

As séries de potência possuem um formato atrativo para a aplicação do critério da razão. Do uso desse critério derivou-se um teorema que permite determinar facilmente o raio de convergência de uma série de potências.
Dada uma série de potências , com . Se . Então o raio de convergência é dado por . Note que aqui adota-se como convenção que e .

Integração e derivação termo a termo

Dada uma série de potências com um raio de convergência . Seja o intervalo de convergência da série. Com base nisso, podemos relacionar a série com uma função real tal que:

Essa função é contínua em todo o intervalo no qual a série converge. Com base nessa relação é possível tirar as seguintes conclusões:

  1. é infinitamente derivável em . E sua derivada é dada por:
  1. é integrável e sua primitiva é dada por:
  1. Se for convergente em , ou seja, se a série for convergente em alguma das extremidades do intervalo, então é contínua em .

Note então que, como consequência do item 3, após derivar ou integrar a série é necessário verificar novamente a convergência nas extremidades do intervalo.