Introdução intuitiva de limites

O operador ${\lim }_{x\to a}$ define que a variável $x$ está se aproximando infinitamente de $a$, porém seu valor nunca é de fato $a$. Para calcular limites devemos primeiramente manipular a expressão utilizando de propriedades de produtos e fatoração de polinômios para então aplicar o operador e substituir o $x$ da equação por $a$.

Um uso importante dos limites é para definir a continuidade de uma função $f(x)$ em $x_0$. Se $x_0$ está no domínio de $f(x)$ e ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ então $f(x)$ é contínua no ponto $x_0$.

Alguns limites com $x$ tendendo a $0$ ou a $\infty$ criam a necessidade de trabalharmos com expressões envolvendo os infinitos, além das noções intuitivas ao se trabalhar com valores infinitamente positivos ou negativos, é necessário se atentar com os seguintes casos, pois eles representam indeterminações:

$$(+\infty )-(+\infty )$$ $$(-\infty )+(+\infty )$$ $$0\times (\pm \infty )$$

Nos limites da forma ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{p(x)}{q(x)}$ , em que $p(x)$ e $q(x)$ são polinômios em $x$, basta considerar apenas os termos de maior grau de ambos os polinômios, ou seja, se:

$$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0$$ $$q(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+...+b_1{x}^1+b_0$$ $$\therefore$$ $$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{p(x)}{q(x)}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n}{b_m{x}^m}$$