Método de Gauss-Seidel

O método de Gauss-Seidel é um método iterativo para resolução de sistemas lineares. Esse ḿetodo é muito semelhante ao Método de Jacobi. A diferença entre os métodos consiste no fato de que, enquanto no método de Jacobi todos os elementos de $X^{(n)}$ são computados a partir de $X^{(n-1)}$, no método de Gauss-Seidel os elementos de $X^{(n)}$ já computados são usados para aproximar os elementos restantes de $X^{(n)}$.

Decompondo a matriz dos coeficientes do sistema linear $A$ numa soma da forma $A=D+L+U$ tal que:

$$\begin{array}{c}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nk}\end{array}\right]L=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & 0\end{array}\right]U=\left[\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]\end{array}$$

Com essa decomposição, o sistema original $AX=B$ pode ser rescrito na forma $(D+L)X=B-UX$, que pode ser convertida na seguinte equação de recorrência:

$X^{(n)}=P-Q{X}^{(n-1)}$

onde $P=(D+L{)}^{-1}B$ e $Q=(D+L{)}^{-1}U$.

Dessa forma, os termos $P$ e $Q$ também podem ser calculados uma única vez e após isso pode-se aplicar os valores de $X^{(n-1)}$ na equação de recorrência para obter os valores de $X^{(n)}$.