Erros em métodos de aproximação

Em se tratando de métodos de aproximação, a existência de erros é inevitável. Portanto, são necessários métodos para entender o comportamento desses erros e estabelecer resultados confiáveis para os mesmos.

Se em uma dada medida o valor esperado é $x$ e o valor efetivamente medido (ou aproximado) é $x_0$, então o erro absoluto é dado por

$|x-x_0|$

e o erro relativo é

$\frac{|x-x_0|}{x}$

Note que essa definição de erro depende do valor esperado (ou o valor real, não aproximado). O problema é que muitas vezes esse valor não é conhecido e não pode ser obtido facilmente. Entretanto, é possível obter um limitante superior para os erros que garante que o erro não excederá um determinado valor.

Se sabemos que $x_m<x<x_M$, então a aproximação for dada por $\frac{x_M+x_m}{2}$, o erro absoluto está limitado superiormente por

$\frac{x_M-x_m}{2}$

e como $x_m<x$, o erro relativo está limitado superiormente por

$\frac{x_M-x_m}{2x_m}$

Erros de representação

Muitas vezes os erros podem surgir de sua representação, como é o caso em Sistemas de Ponto Flutuante. Em geral, a representação de um número real $x$ em uma base $b$ se dá através de uma soma (possivelmente infinita) de potências de $b$:

$$x=s\sum _{k=-\infty }^N{x}_k{b}^k$$

onde $b,x_k\in \mathbb{N},N\in \mathbb{Z},b>1,x_N>0,0\le x_k<b$ e $s$ é o sinal de $x$. Nessas condições, garante-se que todo número real tem uma única representação na base $b$.

Dígitos significativos corretos

Dado um número $x$ com sua representação representada por $(x_N{x}_{N-1}\dots x_1{x}_0,x_{-1}{x}_{-2}\dots {)}_b$, se o erro absoluto é menor que $\frac{1}{2}{b}^m$, dizemos que $x_m$ é um dígito significativo exato.