Método da Bissecção

O método da bissecção é utilizado para a Resolução de equações não lineares. Esse método supõe apenas que a função $f$ seja contínua no intervalo $[a,b]$, sendo um dos métodos mais simples para determinar se existem raízes da função em um intervalo.

O seguinte resultado proporciona a base para esse método:

Seja $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ uma função contínua tal que $f(a)f(b)<0$, ou seja, $f$ muda de sinal no intervalo $[a,b]$. Então existe pelo menos um ponto $\bar{x}\in [a,b]$ tal que $f(\bar{x})=0$. Além disso, se $f^{\prime }$ não muda de sinal em $(a,b)$, então $\bar{x}$ é a única raiz de $f$ nesse intervalo.

Com base no resultado acima, desenvolveu-se o seguinte método para encontrar uma aproximação para a raiz de $f$:

Consideramos o intervalo $I_0=[a_0,b_0]=[a,b]$, onde $f$ muda de sinal, como intervalo inicial. Seja $x_M$ o ponto médio de $I_0$, ou seja, $x_M=\frac{(a_0+b_0)}{2}$. Como $f(a)f(b)<0$, sabe-se que $f(x_M)$ terá o mesmo sinal que $f(a)$ ou $f(b)$. Assim, escolhemos o novo intervalo $I_1=[a_1,b_1]$ como sendo:

• Se $f(x_M)=0$ (ou menor que uma precisão dada), temos que $x_M$ é raiz de $f$;
• $I_1=[a,x_M]$ se $f(a)f(x_M)<0$;
• $I_1=[x_M,b]$ se $f(x_M)f(b)<0$;

Dessa forma, a cada iteração obtemos um novo intervalo $I_i$ que contém a raiz com metade do comprimento do intervalo anterior. Note que, embora simples, o método da bissecção tem uma velocidade de convergência lenta. Após $n$ iterações, a aproximação obtida para a raiz da equação tem um erro absoluto dado por

$|x-x^{\ast }|\le \frac{b-a}{2^{n+1}}$