Vetor gradiente

Dada uma função $f$ que admite derivadas parciais em $(x_0,y_0)$, o vetor

$$\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right)$$

é chamado vetor gradiente de $f$ em $(x_0,y_0)$.

Dada uma função $f$ diferenciável em $(x_0,y_0)$, $\nabla f(x_0,y_0)$ é perpendicular em $(x_0,y_0)$ a toda curva de nível de $f$ que passa por $(x_0,y_0)$. Dessa forma, a reta que passa por $(x_0,y_0)$ e é perpendicular a $\nabla f(x_0,y_0)$ é chamada de reta tangente, em $(x_0,y_0)$, à curva de nível $f(x,y)=c$. A equação dessa reta é definida por:

$$\nabla f(x_0,y_0)\cdot \left[(x,y)-(x_0,y_0)\right]=0$$