Variáveis aleatórias discretas

A variável aleatória $X:\Omega \to \mathbb{R}$ é chamada de discreta quando seu conjunto imagem $Im(X)$ é finito ou infinito enumerável, ou seja, os valores possíveis de $X$ podem ser escritos em forma de lista:

$$Im(X)=\{\begin{array}{l}\{x_1,x_2,\dots ,x_n\},\text{ no caso finito;}\\ \{x_1,x_2,x_3,\dots \},\text{ no caso infinito;}\end{array}$$

Distribuição das probabilidades de uma variável aleatória discreta

Quando trabalhamos com variáveis aleatórias, é possível representar como as probabilidades se distribuem ao longo dos possíveis valores que a variável assume. Fazemos isso através de uma função de distribuição de probabilidade que associa para cada valor $x\in Im(X)$ uma probabilidade $p_X(x)\in [0,1]$.
A função de distribuição de probabilidade $p_x:\mathbb{R}\to [0,1]$ é dada por:

p_X(x)= \begin{cases} P(X=x),\qquad\text{ se } x\in Im(X)\\ 0,\qquad\text{ caso contrário}\\ \end{cases} $$ com$$ \sum_{x\in Im(X)}{p(x)}=1

Como convenção, sendo $X$ uma variável aleatória discreta com função de distribuição de probabilidade $p_X$, escrevemos $X\sim p_X$ e dizemos que $X$ possui distribuição $p_X$.
Existem alguns modelos discretos que definem funções de distribuição de probabilidade para experimentos comuns.

Bernoulli

Dado um experimento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória discreta com conjunto imagem $Im(X)$. Dizemos que $X$ tem distribuição Bernoulli com parâmetro $\theta$, $\theta \in ]0,1[$, quando $Im(X)=\{0,1\}$ e sua função de distribuição de probabilidade é dada por:

$$p_X(x)=\{\begin{array}{l}{\theta }^x(1-\theta {)}^{1-x},\text{ se }x\in Im(X)\\ 0,\text{ caso contraˊrio.}\end{array}$$

A notação para descrever essa função é $X\sim Bernoulli(\theta )$.
Geralmente associamos como sucesso a ocorrência de $1$ e fracasso a ocorrência de $0$. É chamado ensaio de Bernoulli o experimento aleatório que tem resposta do tipo sucesso e fracasso.

Binomial

Dado um experimento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória discreta com conjunto imagem $Im(X)$. Dizemos que $X$ tem distribuição Binomial com parâmetros $n$ e $\theta$, $n\in \mathbb{N}$ e $\theta \in ]0,1[$, quando $Im(X)=\{0,1,2,\dots ,n\}$ e sua função de distribuição de probabilidade é dada por:

$$p_X(x)=\{\begin{array}{l}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right){\theta }^x(1-\theta {)}^{n-x},\text{ se }x\in Im(X)\\ 0,\text{ caso contraˊrio.}\end{array}$$

A notação para descrever essa função é $X\sim Binomial(n,\theta )$.
Esse tipo de experimento pode ser interpretado como a realização de $n$ ensaios de Bernoulli indepentendes, anotando-se o número de sucessos obtidos. Note que a utilização de $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)$ nos permite considerar as $n$ combinações possíveis desprezando a ordem.

Geométrica

Dado um experimento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória discreta com conjunto imagem $Im(X)$. Dizemos que $X$ tem distribuição Geométrica com parâmeto $\theta$, $\theta \in ]0,1[$, quando $Im(X)=\{0,1,2,\dots \}$ e sua função de distribuição de probabilidade é dada por:

$$p_X(x)=\{\begin{array}{l}(1-\theta {)}^x\theta ,\text{ se }x\in Im(X)\\ 0,\text{ caso contraˊrio.}\end{array}$$

A notação para descrever essa função é $X\sim Geom\acute{e}trica(\theta )$.
Esse tipo de experimento pode ser interpretado como a realização de indefinidos ensaios de Bernoulli indepentendes, anotando-se o número de fracassos obtidos até obter-se o primeiro sucesso.