Contagem

Combinatória é uma ferramenta importante para a estatística, pois ela permite contar elementos de um conjunto sem necessariamente precisar listar todos esses elementos.

Princícipo da adição: Se $A$ e $B$ são dois conjuntos disjuntos com $p$ e $q$ elementos, então $A\cup B$ possui $p+q$ elementos

Princícipo da multiplicação: Se uma decisão $d_1$ pode ser tomada de $x_1$ maneiras; e se, para cada uma dessas decisões, existir $x_2$ maneiras de tomar a decisão $d_2$; e assim por diante até a decisão $d_p$ que pode ser tomada de $x_p$ maneiras; então o número de maneiras de se tomar, sucessivamente, as decisões $d_1,d_2,\dots ,d_p$ é ${\prod }_{i=1}^p{x}_i=x_1{x}_2\dots x_p$

Existem problemas de contagem que aparecem com certa frequência, portanto vale a pena tratar deles mais especificamente.

Permutação

A palavra permutação significa ordenação. Geralmente os problemas de ordenação seguem o formato: dados $n$ objetos distintos, de quantos modos é possível ordená-los?. Fica claro aqui que a ordem dos elementos importa. No geral trabalhamos com fatorial para expressar as possibilidades de ordenação dos elementos. Vale lembrar que para representar cada resultado possível, ou seja, cada lista ordenada com os elementos, deve-se usar sempre a notação de vetores ($[e_1,e_2,\dots ,e_n]$), pois ela representa o fato de que a ordem dos elementos importa.

Combinação

Na combinação a ordem dos elementos não importa. Geralmente os problemas de combinação seguem o formato: de quantos modos é possível formar grupos a partir da seleção de $p$ objetos distintos entre $n$ objetos distindos dados?. A ideia aqui é trabalhar com grupos de elementos, portanto a ordem na qual os elementos estão dispostos não importa. Vale lembrar que para representar cada grupo de elementos deve-se usar sempre a notação de conjuntos ($\{e_1,e_2,\dots ,e_p\}$), pois ela representa o fato de que a ordem dos elementos não importa.
O número de modos que podemos escolher $p$ objetos distintos entre $n$ objetos distintos de forma que não importe a ordem de seleção é dado por:$\frac{n\times (n-1)\times \cdots \times (n-p+1)}{p!}=\frac{n!}{(n-p)!p!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{p}\right)$

Na definição acima estamos dividindo por $p!$ pois devemos desconsiderar os conjuntos que estão sendo diferenciados na contagem apenas pela ordem dos elementos.