Sistemas lineares e invariantes no tempo espaço

Sistemas lineares e invariantes no tempo/espaço (SLIT/SLIE) são ferramentas teóricas importantes no estudo de tratamento de sinais. Esse tipo de sistema é dito invariante no tempo quando lidamos com sinais unidimensionais, como áudio, e invariante no espaço quando lidamos com sinais bidimensionais, como imagens. Sendo assim, as definições a seguir consideram um sistema linear invariante no tempo (SLIT), mas as mesmas noções podem ser aplicadas aos SLIEs.

Um sistema linear invariante no tempo (SLIT) é um sistema que produz um sinal de saída a partir de um sinal de entrada ($x(t)\to y(t)$) respeitando as seguintes propriedades:

1. Linearidade: se $x_1(t)\to y_1(t)$ e $x_2(t)\to y_2(t)$, então $\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\to \alpha y_1(t)+\beta y_2(t)$.
2. Invariância no tempo: uma mesma entrada em tempos distintos produz a mesma saída, mas com atraso, ou seja: se $x(t)\to y(t)$, então $x(t+\tau )\to y(t+\tau )$.

O componente mais importante de um SLIT é a resposta impulsiva. Uma resposta impulsiva $h(t)$ é a resposta do sistema a um impulso unitário. Se sabemos a resposta do sistema a um impulso, é possível calcular a saída para qualquer entrada possível decompondo-a em uma sequência de impulsos.

Decompondo um sinal em $n$ impulsos unitários, temos que a resposta do sistema para um dado k-ésimo impulso é dada por $x(k\Delta )h(t-k\Delta )\Delta$, onde $\Delta$ é a largura de cada pulso, $k$ é seu deslocamento, $x(k\Delta )$ é o valor da função no centro do k-ésimo pulso e $h(t)$ denota a resposta impulsiva do sistema. Como um sinal é composto pos vários impulsos, computar a saída do sistema para um sinal equivale a computar a soma da saída para todos os impulsos (pois o SLIT é um sistema linear e invariante no tempo). Sendo assim, a saída do sistema para um dado sinal é dada pela integral de Convolução, definida como:

$$y(t)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-k\Delta )\Delta ={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

Dessa forma, a saída de um SLIT é dada pela convolução do sinal de entrada $x(t)$ com a resposta impulsiva do sistema $h(t)$, ou seja:

$$y(t)=x(t)\ast h(t)$$