Convolução

A convolução é uma operação matemática muito útil no Processamento digital de imagens, sendo um importante operador linear para implementar a Filtragem de imagens. O processo de convolução consiste em, dadas duas funções, obter uma terceira que consiste na soma do produto dessas funções ao longo da região na qual elas são sobrepostas.

Matematicamente a convolução é uma operação contínua, definida por:

$$(f\ast g)(t)=h(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )d\tau$$

Entretanto, a convolução é comumente implementada em computadores a fim de viabilizar o tratamento de imagens. Para tanto, é necessário discretizar a operação de convolução, que pode ser definida da seguinte forma:

$$(f\ast g)(k)=h(k)=\sum _{j=0}^{k}f(j)g(k-j)$$

Note que, no caso de imagens digitais, estamos lidando com sinais no domínio do espaço, portanto é necessário estender a noção de convolução para esse domínio. Dessa forma, a convolução em sinais bidimensionais é dada por:

$$g(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(\alpha ,\beta )h(x-\alpha ,y-\beta )d\alpha d\beta$$

onde $f(x,y)$ é uma imagem de entrada e $h(x,y)$ é a resposta impulsiva.