Sistemas de equações lineares

Sistemas lineares são caracterizados por conterem equações nas quais as variáveis são multiplicadas apenas por constantes e apresentam a seguinte forma:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=D_1\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=D_2\end{array}$$

A solução de um sistema linear deve satisfazer todas as equações do sistema, portanto as equações devem ser resolvidas simultaneamente. Essa solução pode assumir diferentes formas, pode ser um número, um conjunto ou até mesmo não existir uma solução que satisfaça o sistema.

Forma matricial

É possível representar os sistemas lineares como matrizes, isso facilita sua representação e solução. De forma genérica, um determinado sistema dado por:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮+\ddots +⋮=⋮\\ a_{m1}{x}_1+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

pode ser representado na forma matricial por:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\text{ e }\tilde{A}=[A|B]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right]$$

sendo $A$ a matriz dos coeficientes e $\tilde{A}$ a matriz ampliada (completa) do sistema.
Também é possível representar o sistema através da equação matricial $AX=B$, sendo:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$$