Resolução de sistemas lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de $n$ equações em $k$ variáveis, geralmente escrito na seguinte forma:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+\cdots +a_{1k}{x}_k=b_1\\ a_{21}{x}_1+\cdots +a_{2k}{x}_k=b_2\\ ⋮+\ddots +⋮=⋮\\ a_{n1}{x}_1+\cdots +a_{nk}{x}_k=b_n\end{array}$$

ou na forma matricial

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nk}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_k\end{array}\right]\text{, ou}Ax=b\end{array}$$

Uma solução para o sistema linear é um vetor de números $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ tais que a equação acima seja satisfeita. Existem diversos métodos para encontrar a solução de sistemas lineares, porém algumas delas podem rapidamente se tornar muito custosas computacionalmente quando aplicadas a sistemas lineares com um grande número de equações.

A ideia dos métodos numéricos para a resolução de sistemas de equações lineares é encontrar métodos eficientes para a resolução desses sistemas. Esses métodos se dividem em duas grandes categorias: os métodos diretos e os métodos iterativos.