Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Aplicando os conceitos de posto para analisar sistemas lineares na forma de matrizes l-reduzidas podemos rapidamente indentificar características importantes do sistema. Segundo a definição do Teorema de Rouché-Capelli:
Seja um sistema linear de $m$ equações a $n$ variáveis $AX=B$, cuja matriz dos coeficientes $A$ tem um posto $p$ e cuja matriz ampliada $\tilde{A}$ tem posto $q$. Então:

1. se $p\ne q$, o sistema é impossível
2. se $p=q=n$, o sistema é possível e determinado
3. se $p=q<n$ , o sistema é possível e indeterminado, com grau de liberdade $n-p$

Quando nos deparamos com um sistema indeterminado, devemos representá-lo de uma forma específica escolher as variáveis livres, colocá-las em forma de parâmetro e evidenciá-las. Por falta de uma explicação formal do material fica aqui o exemplo:

$$\tilde{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 20& 0& 3& 10\\ 0& 0& 1& 1& 5\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Sendo $\tilde{A}$ a matriz ampliada de um sistema nas variáveis $x$, $y$, $z$ e $w$. Temos que as variáveis livres são as que não são pivôs, nesse caso $y$ e $w$.
Resolvendo as duas equações representadas pelas linhas não-nulas, temos que:

$$\begin{array}{rl}x& =10-20y-3w\\ z& =5-w\end{array}$$

Agora, utilizando parâmetros para representar as variáveis livres ($y=t$ e $w=s$), escrevemos as soluções evidenciando esses parâmetros:

$$\begin{array}{rl}(x,y,z,w)& =(10-20t-3s,t,5-s,s)\\ (x,y,z,w)& =(10,0,5,0)+t(-20,1,0,0)+s(-3,0,-1,1):t,s\in \mathbb{R}\end{array}$$

Sistemas Lineares Homogêneos

Usando sistemas lineares homogêneos é possível encontrar a parte relacionada aos parâmetros da solução do sistema equivalente não-homogêneos sem ter que lidar com os termos independentes no escalonamento.

Um sistema linear é homogêneo se os termos independentes são todos nulos, ou seja, um sistema na forma $AX=0$

Nesse caso, sempre há uma solução nula $(x_1,\dots ,x_n)=(0,\dots ,0)$ para o sistema. Mas ainda é necessário verificar se ele possui apenas a solução nula (sistema homogêneo determinado), ou se existem outras soluções possíveis (sistema homogêneo indeterminado).