Probabilidade

A probabilidade é uma ferramenta da estatística, com ela é possível estudar experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados diferentes.
Considerando um evento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço amostral $\Omega$ e espaço de eventos $\mathcal{F}$, ou seja, um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ a probabilidade de ocorrência de um evento $E$ é uma função $P:\mathcal{F}\to [0,1]$

$$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega |}$$

Essa é a definição clássica de probabilidade, válida apenas quando $\Omega$ é finito e os eventos elementares são equiprováveis.
Há algumas propriedades importantes no cálculo de probabilidades, elas são fundamentadas nas propriedades de conjuntos.
Se $A$ é um evento de $\mathcal{F}$, então $P(A^c)=1-P(A)$

Se $A$ e $B$ são eventos de $\mathcal{F}$ , então $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Probabilidade condicional

Na probabilidade condicional trabalha-se a probabilidade de ocorrência de um dado evento $A$ sabendo que os resultados possíveis são somente os resultados favoráveis a um determinado evento $B$. Note que devemos contar a cardinalidade de $A\cap B$ ao invés de simplesmente $A$, pois estamos considerando apenas os resultados contidos no evento $B$.
$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Eventos independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro.
Para um dado espaço de probabilidade ($\Omega ,\mathcal{F},P$), dados dois eventos $A$ e $B$, dizemos que $A$ e $B$ são eventos independentes quando uma das seguintes condições for satisfeita:$\begin{array}{rl}& P(A\cap B)=P(A)P(B)\\ & P(A|B)=P(A)\text{, se }P(B)>0\\ & P(B|A)=P(B)\text{, se }P(A)>0\end{array}$