Método do Ponto Fixo

O método do ponto fixo se baseia na ideia de que há pontos (chamados de pontos fixos) de funções que, quando aplicados à função resultam neles mesmos. Um ponto fixo de uma dada função $\phi$ é o número $p$ que quando aplicado na função resulta nele mesmo, ou seja, $\phi (p)=p$.

A ideia do método do ponto fixo é associar o problema de se determinar os pontos fixos ao problema de se encontrar as raízes de uma função. Para encontrar as raízes de $f$, podemos escrever $f(x)=x-\phi (x)$ e encontrar um ponto fixo de $\phi$. Nesse caso, o ponto fixo de $\phi$ será também a raiz de $f$.

Note que é necessário definir algum método para a escolha da função $\phi$. Em geral, os seguintes resultados são levados em conta:

• Se $\phi$ é contínua no intervalo $I=[a,b]$ e $\phi (x)\in I$ para todo $x\in I$, então $\phi$ terá um ponto fixo em $I$;
• Se ${\phi }^{\prime }$ existir em $(a,b)$ e existir uma constante $\alpha$ tal que $|{\phi }^{\prime }(x)|\le \alpha <1$ para todo $x\in (a,b)$, então o ponto fixo será único.

Em geral, basta escolher uma função $\phi$ que satisfaça os dois resultados acima.

Note que resolução da equação $x=\phi (x)$ é um processo iterativo, definindo uma sequência $(p_n)$ tal que $p_{n+1}=\phi (p_n)$. Dessa forma, se $p_n$ convergir para um valor $p$, então essa será a solução para $x=\phi (x)$.