Método de Newton-Raphson

O método de Newton-Raphson é utilizado para a Resolução de equações não lineares. Esse método é resultado da aplicação do Teorema de Taylor com o Método do Ponto Fixo, resultando em um método que converge mais rápido para a solução, porém com mais condições de convergência.

Para este método, escreve-se a função $\phi$ da seguinte maneira:

$\phi (x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$

Sendo assim, é gerada uma sequência $(p_n)$ na forma:

$p_{n+1}=p_n-\frac{f(p_n)}{f^{\prime }(p_n)}$

Assim como no método do ponto fixo, a sequência converge para o valor da solução $x=\phi (x)$.

Note que é assumido que $f^{\prime }(x)\ne 0$ para todos os componentes da sequência gerada. Sendo assim, a função $f$ tem que ter uma Derivada contínua e esta derivada não pode se anular no intervalo de busca da solução. Além disso, por conta do Teorema de Taylor, o ponto inicial $p_0$ deve estar próximo da solução para que a convergência seja garantida.

import numpy as np
import math
 
 
def f(x):
    return x * np.sin(x)
 
 
def df(x):
    return np.sin(x) + x * np.cos(x)
 
 
p0 = 0.9
 
list = [p0]
 
i = 1
max = 8
 
while i <= max:
    pn = list[i - 1]
    pnext = pn - (f(pn) / df(pn))
 
    list.append(pnext)
    print("Iteração %d: %.6f" % (i, pnext))
    # print("|p%d - p%d| = %.5f" % (i, i - 1, math.fabs(pnext - pn)))
 
    if list[i] == list[i - 1]:
        break
 
    i = i + 1