Integração por partes

A integração por partes é equivalente a uma regra do produto inversa. A ideia é que aplicando a integração por partes, nós transformamos uma integral em outra, dessa vez mais fácil de ser calculada.
Supondo que $u(x)$ e $v(x)$ são funções deriváveis em um intervalo $I\subset \mathbb{R}$, temos que:

$$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime }(x)dx$$

Substituindo $du=u^{\prime }(x)dx$ e $dv=v^{\prime }(x)dx$, podemos abreviar a fórmula, sendo assim temos:

$$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du$$

Portanto, ao nos depararmos com uma integral da forma $\int f(x)g(x)dx$, devemos substituir uma das funções por $u$ e outra pelo diferencial $dv$ e então aplicar a fórmula. Mas como saber qual a substituição correta?

LIATE

LIATE é um anagrama que descreve a ordem na qual devemos substituir as funções para aplicar corretamente a integração por partes.

$$\begin{array}{ccccc}\mathsf{L}& \mathsf{I}& \mathsf{A}& \mathsf{T}& \mathsf{E}\\ \text{Logarıˊtmicas}& \text{Inversas de}& \text{Algeˊbricas}& \text{Trigonomeˊtricas}& \text{Exponenciais}\\ & \text{trigonomeˊtricas}& & & \end{array}$$

A ideia é sempre substituir:

• como função $u$: a função mais a esquerda no anagrama;
• como diferencial $dv$: a função mais a direita no anagrama;