Hipérbole

Hipérbole é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

Dados dois pontos distintos $F_1$ e $F_2$ tal que a distância $d(F_1,F_2)=2c$, e um número real positivo $a$ de modo que $2a<2c$. Um ponto $P$ pertence à hipérbole se, e somente se:

$$|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=2a$$

Elementos

Dados dois pontos quaisquer $F_1$ e $F_2$, tal que $d(F_1,F_2)=2c$. Chamando de $C$ o ponto médio do segmento $F_1{F}_2$, pode-se traçar uma circunferência de centro $C$ e raio $c$.

Com base na figura, uma hipérbole é composta pelos seguintes elementos:

• Focos: são os pontos $F_1$ e $F_2$.
• Distância focal: é a distância $2c$ entre os focos.
• Centro: é o ponto médio $C$ do segmento $F_1{F}_2$.
• Vértices: são os pontos $A_1$ e $A_2$.
• Eixo real ou transverso: é o segmento $A_1{A}_2$ de comprimento $2a$.
• Eixo imaginário ou não transverso: é o segmento $B_1{B}_2$ de comprimento $2b$, com $B_1{B}_2\perp A_1{A}_2$ em $C$.
• Assíntotas: são as retas $r$ e $s$ das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos vértices.

Pela figura, vê-se que é possível relacionar $a$, $b$ e $c$ através da seguinte equação:

$$c^2=a^2+b^2$$

Outro elemento importante é a excentricidade da hipérbole, definida por:

$$e=\frac{c}{a}e>1$$

A excentricidade se relaciona diretamente com a abertura da hipérbole (denotada pelo ângulo $\theta$ na figura), quanto maior a excentricidade, maior a abertura da hipérbole. Quando $a=b$, as assíntotas se tornam perpendiculares ($\theta =90°$). Nesse caso a hipérbole é chamada de hipérbole equilátera.

Equações reduzidas

Dada uma hipérbole de centro $C(0,0)$, existem dois casos distintos:

• O eixo real está sobre o eixo dos $x$:

Dado um ponto $P(x,y)$ de uma hipérbole de focos $F_1(-c,0)$ e $F_1(c,0)$. Desenvolvendo a definição $|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=2a$ obtém-se a equação reduzida para esse caso:

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

• O eixo real está sobre o eixo dos $y$:

Dado um ponto $P(x,y)$ de uma hipérbole de focos $F_1(0,-c)$ e $F_1(0,c)$. Desenvolvendo a definição $|d(P,F_1)-d(P,F_2)|=2a$ obtém-se a equação reduzida para esse caso:

$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$$

Observações

As assíntotas $r$ e $s$ são retas que passam pelo centro da hipérbole, portanto suas equações são do tipo $y=mx$, sendo $m$ a declividade. A declividade é determinada através de uma relação entre $a$ e $b$, que depende da forma da equação:

• O eixo real está sobre o eixo dos $x$:

$$m=\pm \frac{b}{a}$$

• O eixo real está sobre o eixo dos $y$:

$$m=\pm \frac{a}{b}$$

Translação de eixos

Usando a translação de eixos é possível manipular o centro da hipérbole para obter as equações reduzidas mesmo que o centro $C$ da hipérbole não seja o ponto $(0,0)$ do plano cartesiano.

Dada uma hipérbole de centro $C(h,k)\ne (0,0)$, temos dois casos possíveis para as equações reduzidas:

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $x$:

$$\frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2}=1$$

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $y$:

$$\frac{{\left(y-k\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(x-h\right)}^2}{b^2}=1$$

Equação geral

Eliminando os denominadores e desenvolvendo os quadrados de uma equação reduzida, obtemos uma equação geral da hipérbole, que tem a forma:

$$a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+f=0$$

com $a$ e $b$ de sinais contrários.

Equações paramétricas

Dado um ponto $P(x,y)$ qualquer da hipérbole, temos dois casos para suas equações paramétricas:

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $x$:

$$\{\begin{array}{l}x=a\sec \theta \\ y=b\tan \theta \end{array}$$

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $y$:

$$\{\begin{array}{l}x=b\tan \theta \\ y=a\sec \theta \end{array}$$

Quando o centro da hipérbole for $C(h,k)$, aplicando a translação de eixos, as equações paramétricas para cada caso são;

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $x$:

$$\{\begin{array}{l}x=h+a\sec \theta \\ y=k+b\tan \theta \end{array}$$

• O eixo real é paralelo ao eixo dos $y$:

$$\{\begin{array}{l}x=h+b\tan \theta \\ y=k+a\sec \theta \end{array}$$