Critério da integral

O critério da integral nos permite verificar a convergência de séries manipulando os conceitos de integrais definidas.

Integral imprópria convergente

Dada uma função contínua $f:[1,+\infty [\to \mathbb{R}$, dizemos que a integral imprópria ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ é convergente se e somente se

$$\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_1^{b}f(x)dx=L\text{,}L\in \mathbb{R}$$

Critério da integral

Dada uma função contínua e decrescente $f:[1,+\infty [\to \mathbb{R}$ com $f(x)>0,\forall x\in [1,+\infty [$. Seja $a_n$ uma sequência numérica que pode ser descrita em termos da função contínua tal que $a_n=f(x)$. É possível afirmar que $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ converge $⟺$ ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ converge.

Note que com o critério da integral não é necessário encontrar uma série comparadora, toda a análise pode ser feita apenas com a sequência em questão. Entretanto vale destacar que para ser aplicado o critério requer a verificação de algumas coisas:

1. A série deve ser representada por uma função contínua.
2. Essa função contínua deve ser decrescente.
3. Essa função deve ter uma primitiva calculável.