Variância

Dado um experimento aleatório com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória com conjunto imagem $Im(X)$. Se $E(X)$ existe, então a variância e o desvio padrão de $X$ são definidos por:

$$\begin{array}{rl}Var(X)& :=E\left({\left[X-E(X)\right]}^2\right)\\ & \\ SD(X)& :=\sqrt{Var(X)}\end{array}$$

A variância e o desvio padrão são medidas da variabilidade da distribuição em torno da sua média.
Veja que a variância pode ser interpretada como o valor médio da distância dos valores da variável aleatória em relação ao seu valor médio esperado. Apesar das boas propriedades matemáticas da variância, ao elevar a esperança da variável aleatória ao quadrado também elevamos suas unidades de medida ao quadrado (na prática as variáveis aleatórias representam grandezas do mundo real!), por essa razão temos o desvio padrão, que retorna a variância à unidade de medida da variável aleatória. Podemos dizer então que o desvio padrão é a forma interpretável fisicamente da variância de uma variável aleatória.

Para as variávies aleatórias mais comuns temos expressões que podem nos dizer rapidamente qual a variância esperada da variável aleatória:

Se $X\sim Bernoulli(\theta )$, então:

$$Var(X)=\theta (1-\theta )$$

Se $X\sim Binomial(n,\theta )$, então:

$$Var(X)=n\theta (1-\theta )$$

Se $X\sim Geom\acute{e}trica(\theta )$, então:

$$Var(X)=\frac{1-\theta }{{\theta }^2}$$

Se $X\sim Uniforme([a,b])$, então:

$$Var(X)=\frac{1}{b-a}$$

Se $X\sim Exponencial(\alpha )$, então:

$$Var(X)=\frac{1}{{\alpha }^2}$$

Se $X\sim Normal(\mu ,{\sigma }^2)$, então:

$$Var(X)=\mu$$