Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier permite generalizar a Série de Fourier para sinais não periódicos. Esse resultado permite a visualização de dados não periódicos como sinais e imagens no domínio da frequência.

Sinais não periódicos podem ser vistos como funções contínuas, portanto a Transformada de Fourier tem por objetivo representar funções contínuas em termos de funções de base periódicas (que também podem ser representadas por exponenciais complexas). Dessa forma é possível levar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência e vice-versa.

A Série de Fourier é dada por:

&g(t) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} g_k e^{jk\Omega t} \text{ , } \\ &g_k = \int_{-T/2}^{T/w} g(t) e^{-jk \Omega t} \,dt \end{aligned}

Se analisarmos a Série de Fourier, o que ocorre se $T\to \infty$, ou seja, se tomamos um número infinito de componentes de frequência? Intuitivamente, a Série passa a se tornar uma integral sobre todas as frequências possíveis ao invés de uma soma discreta de componentes de frequência. Dessa forma, a Série passa a se aproximar cada vez mais da sua representação como uma função contínua (graficamente, é como se a variação das frequências fossem sendo “amassadas” até se tornarem uma linha perfeita).

Com essa noção intuitiva da equivalência da Série de Fourier com $T\to \infty$ à função contínua corresponde, podemos usar a ideia reversa para decompor qualquer função contínua em termos de funções de base periódicas. Dessa forma, é possível concluir que a Transformada de Fourier é uma generalização da Série de Fourier, permitindo descrever qualquer função contínua como uma combinação linear de funções de base periódicas.

Partindo da definição inicial da Série de Fourier, quando tomamos $T\to \infty$ e, portanto, o sinal torna-se não periódico, os coeficientes discretos $g_k$ podem ser representados como amostras de uma função contínua $G(f)$ .

Supondo que $G(f)$ é contínua, podemos tomar amostras espaçadas de $\Delta f$ para representar os coeficientes $g_k$ da Série. Posteriormente utilizaremos o caso limite em que $\Delta f\to 0$, que é equivalente a $T\to \infty$ .

Iniciamos fazendo a seguinte mudança de variáveis:

&k \Omega = 2 \pi f\\ &f = k \frac{\Omega}{2 \pi} = k \Delta f \end{aligned}

Dessa forma, podemos definir as amostras $g_k$ da Série de Fourier como:

$$\frac{g_k}{T}=G(k\Delta f)\Delta f$$

Vale notar que, como $\Omega =\frac{2\pi }{T}$, então $\frac{1}{T}=\frac{\Omega }{2\pi }=\Delta f$.

Dessa forma, podemos definir $g(t)$ a partir dessas amostras utilizando a Série de Fourier original:

g(t) &= \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} g_k e^{jk\Omega t} \text{ , } \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \frac{g_k}{T} e^{jk\Omega t} \text{ , } \\ &= \sum_{f=(k\Delta f)} G(f) \Delta f e^{j2\pi ft}\\ &= \sum_{f=(k\Delta f)} G(f)e^{j2\pi ft} \Delta f \\ \end{aligned}

No caso limite, tomando $\Delta f\to 0$, ou seja, quando $T\to \infty$ (quando o sinal se torna não periódico):

$$g(t)=\underset{\Delta f\to 0}{\lim }\sum _{f=(k\Delta f)}G(f)e^{j2\pi ft}\Delta f$$

Da própria definição de integral, podemos então escrever:

$$g(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(f)e^{j2\pi ft}df$$

Ou seja, é possível expressar a decomposição de uma função contínua em uma combinação linear de funções de base através da integração das funções de base ponderadas pelos coeficientes $G(f)$. Essa é a chamada Transformada de Fourier inversa, que leva sinais do domínio da frequência para o domínio do tempo.

Sendo assim, a Transformada de Fourier, que leva sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência, é dada por:

$$G(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }G(f)e^{-j2\pi ft}df$$