Sequências numéricas

Uma sequência de números reais é qualquer sequência de números $a_1,a_2,\dots ,a_n$ tal que $a_n\in \mathbb{R}\forall n\in \mathbb{Z}$. Sequências numéricas podem ser denotadas também pela notação $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$.

Sequência convergente
Uma sequência $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ é dita convergente se existe um número $L\in \mathbb{R}$ tal que

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$$

Se $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ não for convergente, ela é dita divergente.

Limites de sequências

Segue abaixo um teorema importantíssimo que associa a ideia de limite de sequências ao limite de funções. Isso nos permite carregar os conceitos e operações envolvendo limites de funções para serem aplicados em sequências infinitas que podem ser expressadas através de funções.

Dada uma sequência $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ e uma função $f.[1,+\infty [\to \mathbb{R}$, tal que $a_n=f(n)$, é possível estabelecer a seguinte relação:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=L⟹\underset{x\to \infty }{\lim }{a}_n=L$$

Note que a recíproca do teorema não é verdadeira, ou seja, ainda é possível que uma sequência possua um limite mesmo que função que a representa não possua um limite definido.
Sabendo disso, convém aqui enunciar algumas propriedades de limites aplicáveis tanto para funções quanto para sequências.

Sejam $(a_n)$ e $(b_n)$ sequências de números reais tal que ${\lim }_{n\to +\infty }{a}_n=A$ e ${\lim }_{n\to +\infty }{b}_n=B$, tal que $A\in \mathbb{R}$ e $B\in \mathbb{R}$, as seguintes propriedades são verdadeiras:

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to +\infty }{\lim }(a_n+b_n)=A+B\\ & \underset{n\to +\infty }{\lim }(a_n-b_n)=A-B\\ & \underset{n\to +\infty }{\lim }(a_n\cdot b_n)=A\cdot B\\ & \underset{n\to +\infty }{\lim }(k\cdot b_n)=k\cdot B\\ & \underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B},\text{com }B\ne 0\end{array}$$

Sequências crescentes limitadas

Antes de calcular o limite de uma sequência, é necessário determinar se a sequência possui um limite, isto é, se a sequência converge para algum número real. Isso pode ser determinado através do teorema a seguir, que de fato apresenta uma definição intuitiva.

Teorema da sequência crescente
Uma sequência crescente de números reais converge se, e somente se, é limitada superiormente. Se uma sequência crescente converge, ela converge para o seu menor limitante superior.

Sequência crescente
Uma sequência $(a_n)$ é crescente se e somente se $a_n\le a_{n+1}\forall n\in \mathbb{Z}$.

Sequência limitada
Uma sequência $(a_n)$ é limitada superiormente se existe um número $M$ (limitante superior) tal que $a_n\le M\forall n\in \mathbb{Z}$. Se $M$ é um limitante superior para $(a_n)$ mas não existe nenhum outro limitante superior para $(a_n)$ menor que $M$, então $M$ é o menor limitante superior para $(a_n)$.