Matriz de Vandermonde

Tomando uma função polinomial $g(x_k)=p_n(x_k)$ tal que $p_n(x_k)=a_0+a_1{x}_k^1+\cdots +a_n{x}_k^n$, é possível obter o seguinte sistema linear:

$$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1{x}_0^1+\cdots +a_n{x}_0^n=f(x_0)\\ a_0+a_1{x}_1^1+\cdots +a_n{x}_1^n=f(x_1)\\ ⋮+⋮+\ddots +⋮=⋮\\ a_0+a_1{x}_n^1+\cdots +a_n{x}_n^n=f(x_n)\end{array}$$

Encontrando os coeficientes $a_i$, encontra-se também a função $g$.

Na representação matricial desse sistema na forma $Ax=B$:

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}1& x_0& \cdots & x_0^n\\ 1& x_1& \cdots & x_1^n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^n\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f(x_0)\\ f(x_1)\\ ⋮\\ f(x_n)\end{array}\right]\end{array}$$

A matriz $A$ é uma matriz de Vandermonde, que possui solução única, ou seja, existe um único polinômio $p_n(x)$ que gera os valores dados por $f(x_1)$.

Abaixo é possível verificar uma implementação simples do método de interpolação polinomial utilizando matriz de Vandermonde. O problema consiste em gerar as matrizes $A$ e $B$ do sistema linear com base nos valores de $x_i$ e $f(x_i)$ para então calcular os coeficientes $a_i$ do polinômio $p_n(x)$.

import numpy as np
 
 
def vandermonde(x, fx):
    n = len(x)
    A = np.empty((n, n))
    B = np.empty((n))
 
    for i in range(0, n):
        A[i, 0] = 1
 
        for j in range(1, n):
            A[i, j] = A[i, j - 1] * x[i]
 
        B[i] = fx[i]
 
    return A, B
 
 
# x = [0, 1, 2, 3]
# fx = [1, 1, 2, 6]
x = [-6, 6]
fx = [9, 7]
A, B = vandermonde(x, fx)
x = np.linalg.solve(A, fx)
 
print(x)