O método da fatoração LU é um método direto para resolução de sistemas lineares. Esse ḿetodo consiste em, dado um sistema linear na forma , decompor a matriz dos coeficientes em um produto de duas matrizes e , em que (Lower) é uma matriz triangular inferior com diagonal unitária e (Upper) é uma matriz triangular superior.
O custo computacional desse método é idêntico ao do método da eliminação de Gauss, porém com o método da fatoração é possível reutilizar as operações de escalonamento feitas na matriz dos coeficientes para resolver outros sistemas com a mesma matriz de coeficientes e matrizes diferentes.
Tomando , o sistema pode ser reescrito na forma , que pode ser reescrito no seguinte sistema:
Note que cada equação do sistema é também um sistema, dessa forma pode-se resolver o primeiro sistema para encontrar a solução , e depois o segundo sistema, obtendo a solução do sistema original.
A matriz é a matriz resultante do processo de eliminação de Gauss, enquanto a matriz é composta pelos fatores de multiplicação usados para zerar cada elemento no processo.
Note que o fato da matriz ser composta pelas operações inversas utilizadas no escalonamento garante que a operação é reversível, portanto os elementos da matriz não se alteram de posição mesmo que as linhas de sejam alteradas em pelo processo de escalonamento.