Estimação intervalar

Quando fazemos estimativas pontuais, não há como julgar qual a magnitude do possível erro da estimativa, apenas sabemos que o valor verdadeiro do parâmetro está próximo da estimativa. Assim, a estimação intervalar nos fornece meios de determinar não só uma estimativa, mas um intervalo de confiança, ou seja, um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro (o que não significa que o parâmetro está com certeza nesse intervalo).
Os intervalos de confiança são obtidos a partir da distribuição amostral dos estimadores pontuais. Não há como determinar com certeza se o intervalo de confiança contém o parâmetro populacional (pois ele é desconhecido), porém esse intervalo é construído com base em um alto nível de confiança fixado de que ele contém o parâmetro.

Intervalo de confiança
Dada uma amostra aleatória $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ da variável aleatória $X$ que representa uma característica observável da população $\mathcal{P}$, tal que a função de distribuição (ou densidade) de probabilidade de $X$ é $p(x|\theta )$ (ou $f(x|\theta )$), em que $\theta \in \Theta$ é um parâmetro populacional desconhecido. Se $\hat{\theta }=T(X_1,\dots ,X_n)$ é um estimador de $\theta$ cuja distribuição amostral é conhecida, sempre é possível encontrar dois valores $t_1:=t_1(X_1,\dots ,X_n)$ e $t_2:=t_2(X_1,\dots ,X_n)$ tais que

$$P(t_1\le \theta \le t_2)=\gamma$$

em que $\gamma$ é o coeficiente de confiança do intervalo.

Note que, para obter um intervalo de confiança, é necessário obter um estimador e sua distribuição. É natural então que bons estimadores produzam bons intervalos, e de fato produzem. Portanto, buscaremos sempre utilizar os estimadores de máxima verossimilhança para construir bons intervalos de confiança.

Intervalos de confiança para a proporção populacional

Seja $p\in ]0,1[$ a proporção (desconhecida) de indivíduos ou objetos de uma certa população $\mathcal{P}$ que são portadores de uma determinada característica $X$. Dada uma amostra $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ da variável aleatória $X$, obtida a partir dessa população, o estimador de máxima verossimilhança de $p$ é a proporção amostral

$$\hat{p}:=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

Para $n$ suficientemente grande, segue pelo Teorema Central do Limite que

$$\hat{p}\simeq Normal\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$$

Normalizando a distribuição, temos

$$\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}\simeq Normal(0,1)$$

Dessa forma, para um coeficiente de confiança $\gamma \in ]0,1[$, temos

$$P\left(\hat{p}-z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le p\le \hat{p}+z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\right)=\gamma$$

A partir disso, podemos construir dois intervalos de confiança. O primeiro é um intervalo conservador, geralmente utilizado para $n$ não suficientemente grande:

$$\left[\hat{p}-\frac{z}{2\sqrt{n}};\hat{p}+\frac{z}{2\sqrt{n}}\right]$$

O segundo é um intervalo mais preciso, porém depende de um $n$ suficientemente grande:

$$\left[\hat{p}-z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}};\hat{p}+z\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$$

Intervalos de confiança para a média de populações normais

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ associado a um experimento aleatório, e $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $X:\Omega \to \mathbb{R}$ tal que $X\sim Normal(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mu \in \mathbb{R}$ e ${\sigma }^2>0$. Quando $\mu$ é desconhecido e ${\sigma }^2={\sigma }_0^2$ é conhecido, o estimador de máxima verossimilhança para $\mu$ é $\bar{X}$ e

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim Normal(0,1)$$

Dessa forma, fixado um nível de confiança $\gamma \in ]0,1[$, existem $z\in {\mathbb{R}}_{+}$ tal que

$$P\left(-z\le \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\le z\right)=\gamma$$

Assim, um intervalo com nível de confiança $\gamma$ para $\mu$ é

$$\left[\bar{X}-z\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}};\bar{X}+z\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}\right]$$

Porém, quando a variância ${\sigma }^2$ da variável aleatória $X$ também é um parâmetro desconhecido, não podemos utilizar esse mesmo intervalo de confiança para $\mu$, pois esse intervalo depende da variância populacional.

No caso da variância populacional ser desconhecida, podemos utilizar a variância amostral $S^2$ para estimar ${\sigma }^2$. Porém com isso devemos considerar outra distribuição, e aí que entra a distribuição t-Student. Dizemos então que a variável não possui mais distribuição normal padrão, mas sim distribuição t-Student com $n-1$ graus de liberdade.

$$T:=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t_{(n-1)}$$

Dessa forma, fixado um nível de confiança $\gamma \in ]0,1[$, existe $t\in \mathbb{R}$ tal que

$$P\left(-t\le \frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\le t\right)=\gamma$$

Portanto, um intervalo com nível de confiança $\gamma$ para $\mu$ é

$$\left[\bar{X}-t\frac{S}{\sqrt{n}};\bar{X}+t\frac{S}{\sqrt{n}}\right]$$

Intervalos de confiança para a variância de populações normais

Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ associado a um experimento aleatório, e $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $X:\Omega \to \mathbb{R}$ tal que $X\sim Normal(\mu ,{\sigma }^2)$, $\mu \in \mathbb{R}$ e ${\sigma }^2>0$ são parâmetros desconhecidos. Para construir um intervalo de confiança para ${\sigma }^2$, utilizamos a variância amostral $S^2$ como estimador e introduzimos uma outra distribuição, a qui-quadrado.
Consideramos o seguinte fato:

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\mathcal{X}}_{(n-1)}$$

em que

$$S^2:=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{\left(X_1-\bar{X}\right)}^2$$

é a variância amostral e ${\mathcal{X}}_{(n-1)}$ é uma distribuição qui-quadrado com $n-1$ graus de liberdade.
Note que a distribuição qui-quadrado, ao contrário da Normal e t-Student, não é simétrica. Portanto, dado um nível de confiança $\gamma \in ]0,1[$, devemos tomar $q_1\ge 0$ e $q_2\ge 0$ tais que

$$P(Q\ge q_2)=P(Q\le q_1)=\frac{1-\gamma }{2}$$

em que

$$Q=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\mathcal{X}}_{(n-1)}$$

ou seja,

$$P\left(q_1\le \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\le q_2\right)=\gamma$$

Assim,

$$P\left(\frac{(n-1)S^2}{q_2}\le {\sigma }^2\le \frac{(n-1)S^2}{q_1}\right)=\gamma$$

Portanto, um intervalo com nível de confiança $\gamma$ para ${\sigma }^2$ é

$$\left[\frac{(n-1)S^2}{q_2};\frac{(n-1)S^2}{q_1}\right]$$