Esperança de variáveis aleatórias

A esperança nada mais é do que o valor médio esperado de uma variável aleatória. Ao executar um experimento aleatório muitas vezes é possível constatar que os valores de uma determinada variável aleatória tendem a um valor específico. Esse valor médio esperado é calculado fazendo uma média dos valores que a variável aleatória pode assumir, sendo que cada valor é ponderado pela sua probabilidade de ocorrência.
Esse valor esperado é um conceito fundamental em probabilidade, pois fornece informação a respeito do comportamento médio do experimento aleatório em questão.

Esperança de variáveis aleatórias discretas

Dado um experimento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória discreta com conjunto imagem $Im(X)$ e função de distribuição de probabilidade $pX$. O valor médio esperado ou esperança de $X$ é dada por:

$$E(X):=\sum _{x\in Im(X)}x{p}_X(x)$$

com

$$\sum _{x\in Im(X)}|x|p_X(x)<\infty$$

Para as variáveis aleatórias mais comuns temos expressões que podem nos dizer rapidamente qual o valor médio esperado da variável aleatória:

Se $X\sim Bernoulli(\theta )$, então:

$$E(X)=\theta$$

Se $X\sim Binomial(n,\theta )$, então:

$$E(X)=n\theta$$

Se $X\sim Geom\acute{e}trica(\theta )$, então:

$$E(X)=\frac{1-\theta }{\theta }$$

Esperança de variáveis aleatórias contínuas

Dado um experimento aleatório $\mathcal{E}$ com espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$. Seja $X:\Omega \to \mathbb{R}$ uma variável aleatória contínua com conjunto imagem $Im(X)$ e função densidade de probabilidade $f_X$. O valor médio esperado ou esperança de $X$ é dada por:

$$E(X):={\int }_{x\in Im(X)}x{f}_X(x)dx$$

com

$${\int }_{x\in Im(X)}|x|f_X(x)dx<\infty$$

Para as variáveis aleatórias mais comuns temos expressões que podem nos dizer rapidamente qual o valor médio esperado da variável aleatória:

Se $X\sim Uniforme([a,b])$, então:

$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$

Se $X\sim Exponencial(\alpha )$, então:

$$E(X)=\frac{1}{\alpha }$$

Se $X\sim Normal(\mu ,{\sigma }^2)$, então:

$$E(X)=\mu$$