Derivação em cadeia e implícita

A derivação em cadeia é uma técnica que nos permite calcular a derivada de uma composição de funções, tais como $f(g(x))$. Se $y=f(u)$ e $u=g(x)$, sendo ambas deriváreis então:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$$ $$y^{\prime }=[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\times g^{\prime }(x)$$

Muitas vezes nos deparamos com problemas que, ao invés de trazerem algo como $f(x)$, nos apresentam equações $F(x,y)=c$, e algumas vezes não é prático isolar o $y$, portanto é necessário trabalhar com a equação nesse formato.
Para obter a derivada $\frac{dy}{dx}$ a partir de uma equação $F(x,y)=c$, derivamos ambos os membros desta equação em relação à variável $x$, considerando $y=f(x)$.
Exemplo: Obter $\frac{dy}{dx}$ a partir da equação $x^2+y^2=2$, lembrando que $y^2=f(x{)}^2$

$$x^2+y^2=2$$ $$(x^2+y^2{)}^{\prime }=(2{)}^{\prime }$$ $$(x^2{)}^{\prime }+(y^2{)}^{\prime }=0$$ $$(x^2{)}^{\prime }+(y^2{)}^{\prime }=0$$ $$2x+2y{y}^{\prime }=0$$ $$2y{y}^{\prime }=-2x$$ $$y^{\prime }=-\frac{x}{y}$$