Cálculo proposicional

O cálculo proposicional utiliza das propriedades da consequência lógica para inferir e deduzir novos conhecimentos a partir de um conjunto de fatos conhecidos a priori.

Assume-se que as premissas são verdadeiras para então inferir uma conclusão lógica.

Quando todas as premissas são verdadeiras, então o consequente também é verdadeiro.

Argumentos

Separa premissas de conclusões.

Um argumento é uma sequência ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots {\alpha }_n$ de proposições, com $n\ge 1$, na qual as $n-1$ primeiras proposições são chamadas de premissas e a última proposição ${\alpha }_n$ é chamada de conclusão. Um argumento é denotado por:

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}⊢{\alpha }_n$$

Um argumento é válido somente se a sua conclusão é uma consequência lógica de suas premissas, ou seja:

Um argumento ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}⊢{\alpha }_n$ é dito válido se e somente se ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}\models {\alpha }_n$, ou seja, se e somente ${\alpha }_n$ é uma consequência lógica das premissas.
Dessa forma, pode-se concluir que um argumento ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}⊢{\alpha }_n$ é válido se e somente se

$$\left({\alpha }_1\wedge {\alpha }_2\wedge {\alpha }_3\wedge \cdots \wedge {\alpha }_{n-1}\right)⟹{\alpha }_n$$

for uma tautologia.

Existem duas formas de mostrar a validade de um argumento:

Método semântico

Esse método consiste na construção da tabela-verdade e análise das interpretações. Esse método é mecânico e conceitualmente simples, porém pode ser inviável por conta da quantidade de proposições na fórmula.
Para verificar a validade de um argumento ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_{n-1}⊢{\alpha }_n$ utilizando o método semântico, basta fazer a tabela-verdade com todas as fórmulas presentes e verificar se $\left({\alpha }_1\wedge {\alpha }_2\wedge {\alpha }_3\wedge \cdots \wedge {\alpha }_{n-1}\right)⟹{\alpha }_n$ é uma tautologia.

Método sintático

Esse método representa a essência do cálculo proposicional. Para verificar a validade de um argumento utilizando o método sintático, deve-se desenvolver uma prova (ou dedução) para o dado argumento com base nas regras de inferência e leis de equivalência.

Regras de inferência

As regras de inferência são argumentos lógicos notáveis já conhecidos que podem ser utilizados para verificar a validade de argumentos mais complexos.

Existem ao todo $14$ regras de inferência:

Regra	Nome
$p,p⟹q\models q$	Modus ponens
$p⟹q,\neg q\models \neg p$	Modus tollens
$p⟹q,q⟹r\models p⟹r$	Silogismo hipotético (regra da cadeia)
$\begin{array}{r}p\vee q,\neg p\models q\\ p\vee q,\neg q\models p\end{array}$	Silogismo disjuntivo
$\begin{array}{r}p\wedge q\models p\\ p\wedge q\models q\end{array}$	Simplificação
$p,q\models p\wedge q$	Conjunção (ou combinação)
$p⟹q,\neg p⟹q\models q$	Regra de casos
$\begin{array}{r}p\models p\vee q\\ q\models p\vee q\end{array}$	Adição
$p⟹q,r⟹s,p\vee r\models q\vee s$	Dilema construtivo
$p⟹q,r⟹s,\neg q\vee \neg s\models \neg p\vee \neg r$	Dilema destrutivo
$p⟹q\models \neg q⟹\neg p$	Contraposição
$p,\neg p\models q$	Regra da inconsistência
$p⟹q,q⟹p\models p⟺q$	Introdução da equivalência
$\begin{array}{r}p⟺q⊢p⟹q\\ p⟺q⊢q⟹p\end{array}$	Eliminação da equivalência