Teste de hipóteses

Os testes de hipóteses são muito usados na prática, pois nos permitem colocar à prova uma hipótese e verificar se ela é válida ou não. De maneira geral essas hipóteses são afirmações acerca do valor de algum parâmetro populacional.
Trabalhamos sempre com duas hipóteses, a hipótese nula $H_0$ e a hipótese alternativa $H_1$. Caso a hipótese $H_0$ seja rejeitada, aceitamos como verdadeira a hipótese $H_1$.

Teste de hipóteses
Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ associado a um experimento aleatório. Seja $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $X:\Omega \to \mathbb{R}$ que representa uma característica observável da população $\mathcal{P}$. Chamamos de teste de hipóteses a função de decisão $d:Im(X_1,\dots ,X_n)\to \{a_0,a_1\}$, em que $a_0$ corresponde à ação de considerar a hipótese $H_0$ como verdadeira e $a_1$ corresponde à ação de considerar a hipótese $H_1$ como verdadeira.

Note que a função de decisão $d$ divide o conjunto $Im(X_1,\dots ,X_n)$ associado à amostra aleatória $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ em dois conjuntos:

$$R_0=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Im(X_1,\dots ,X_n):d(x_1,\dots ,x_n)=a_0\}$$

e

$$R_1=\{(x_1,\dots ,x_n)\in Im(X_1,\dots ,X_n):d(x_1,\dots ,x_n)=a_1\}$$

Ou seja, essa função divide as amostras possíveis em amostras que geram a aceitação da hipótese $H_0$ e amostras que geram a aceitação da hipótese $H_1$. Chamamos $R_0$ de região de aceitação, e $R_1$ de região de rejeição, ou região crítica.

Note que, pela natureza do teste de hipótese, a veracidade da hipótese nunca pode ser verificada (pois isso implica em verificar todas as amostras possíveis de uma determinada população). Portanto, é necessário utilizar técnicas que minimizem as chances de se cometer erros no processo de decisão.

Erro do tipo $I$ e do tipo $II$
Dado um espaço de probabilidade $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ associado a um experimento aleatório. Seja $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ uma amostra aleatória da variável aleatória $X:\Omega \to \mathbb{R}$ que representa uma característica observável da população $\mathcal{P}$ de forma que sua função de distribuição (ou densidade de probabilidade) é $p(x|\theta )$ (ou $f(x|\theta )$), em que $\theta \in \Theta$ é um parâmetro populacional desconhecido. Suponha que desejamos testar a hipótese $H_0:\theta ={\theta }_0$ contra a hipótese alternativa $H_1:\theta \ne {\theta }_0$, em que ${\theta }_0\in \Theta$ é um valor fixado e defina $R_1$ como sendo a região crítica do teste.

• O erro do tipo $I$ é o erro que cometemos quando rejeitamos a hipótese nula $H_0$ quando ele é verdadeira. Indicamos por $\alpha$ a probabilidade de cometer esse erro, ou seja

$$\alpha :=P((X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{R}}_1|\theta ={\theta }_0)$$

• O erro do tipo $II$ é o erro que cometemos quando não rejeitamos a hipótese nula $H_0$ quando ela é falsa. Indicamos por $\beta$ a probabilidade de cometer esse erro, ou seja

$$\beta :=P((X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{R}}_1|\theta \ne {\theta }_0)$$

A mesma definição vale para as hipóteses alternativas unilaterais $H_1:\theta >{\theta }_0$ e $H_1:\theta <{\theta }_0$, e para a hipótese alternativa simples $H_1:\theta ={\theta }_0$. Nesses casos, a probabilidade do erro tipo $II$ é dada por

$$\begin{array}{rl}& \beta :=P((X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{R}}_1|\theta >{\theta }_0)\\ & \beta :=P((X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{R}}_1|\theta <{\theta }_0)\\ & \beta :=P((X_1,\dots ,X_n)\in {\mathbb{R}}_1|\theta ={\theta }_0)\end{array}$$

Procedimento geral de um teste de hipóteses

1. Fixe a hipótese nula $H_0$ e a hipóteses alternativa $H_1$.
2. Use a teoria estatística para determinar a estatística apropriada para o teste.
3. Escolha um nível de significância $\alpha \in ]0,1[$ (probabilidade de erro do tipo $I$) e utilize este valor para construir a região crítica do teste com base na estatística de teste determinada.
4. Use as observações da amostra coletada para calcular o valor da estatística de teste.
5. Se o valor da estatística de teste calculado com a amostra observada pertencer à região crítica, rejeite a hipótese nula $H_0$; caso contrário, não rejeite a hipótese nula $H_0$.
6. Reporte sua decisão no contexto do problema