Teoria dos Números

A teoria dos números se dedica ao estudo dos números inteiros e suas propriedades. Esse campo da matemática é de fato muito extenso, portanto aqui ficam enunciadas apenas algumas propriedades e conceitos básicos dos números inteiros.

Divisibilidade

A divisibilidade é um conceito básico mas que serve para compor muitos outros conceitos e propriedades relacionadas a números inteiros.

Dados dois inteiros $a$ e $b$ tal que $b\ne 0$, dizemos que $b$ divide $a$ se há um inteiro $c$ tal que $a=bc$. Essa relação é denotada por $b|a$.

A partir da decomposição do conceito de divisibilidade, obtém-se o teorema da divisão.

Dados dois inteiros $a,b\in \mathbb{Z}$ com $b>0$, existe um único par de inteiros $(q,r)$ tais que:

$$a=qb+r\text{ e }0\le r\le b$$

O inteiro $q$ é chamado de quociente da divisão, enquanto $r$ é chamado de resto.

Máximo divisor comum (MDC)

Dados dois inteiros $a,b\in \mathbb{Z}$, o máximo divisor comum é o maior inteiro que divide $a$ e $b$.

É possível calcular o MDC de dois números através do Algoritmo de Euclides, que pode ser definido da seguinte forma:

mdc a b =
  r = a mod b
  if r = 0 then b else mdc b r

Números relativamente primos

Dados dois inteiros $a$ e $b$, dizemos que eles são relativamente primos (ou primos entre si) se e somente se $mdc(a,b)=1$.

Teorema fundamental da aritmética

Se $n$ é um número inteiro positivo, então pode-se decompor $n$ em um produto de números primos.